Explico muy brevemente los pasos básicos para instalar Composer en cualquier proyecto de php desde cero.
1) Accede a su web para copiar y ejecutar en el directorio raíz de tu proyecto las cuatro lineas de php que vienen indicadas, con ello descargarás el ejecutable (.phar) de composer.
https://getcomposer.org/download/
2) Lanza el comando para iniciar el repositorio y sigue los pasos que se te van indicando:
php ./composer.phar init
3) Una vez realizado el proceso ya puedes incluir tus librerias, por ejemplo la libreria monolog:
php ./composer.phar require monolog/monolog
4) Ahora lanza el siguiente comando para que composer genere todos los archivos en tu proyecto:
php ./composer.phar install
5) Solo tienes que incluir el archivo autoload.php en el index de tu proyecto, y ya puedes empezar a utilizar las dependencias gestionadas por Composer, en este caso de ejemplo Monolog:
require __DIR__ . '/vendor/autoload.php';
$log = new Monolog\Logger('app');
$log->pushHandler(new Monolog\Handler\StreamHandler('app.log', Monolog\Logger::DEBUG));
$log->debug('Uso monolog gracias a Composer!');
Como siempre recomiendo la lectura de la documentación oficial, ya que viene bastante bien explicado: